Views: 3515
CHƯƠNG 3. PHÉP ĐẾM
Bài 1. Cho M = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} Có bao nhiêu tập thỏa:
a)|A| = 5
A = {1,2,3,4,5}, {1,2,3,4,6},…,{1,2,3,4,12} : 8 trường hợp
{2,3,4,5,6},…,{2,3,4,5,12}: 7 trường hợp
{3,4,5,6,7},…, {3,4,5,6,12}: 6 trường hợp
{4,5,6,7,8},…,{4,5,6,7,12}: 5 trường hợp
{5,6,7,8,9},…,{5,6,7,8,12}: 4 trường hợp
{6,7,8,9,10},…,{6,7,8,9,12}: 3 trường hợp
{7,8,9,10,11}, {7,8,9,10,12}: 2 trường hợp
{8,9,10,11,12}: 1 trường hợp
Có tất cả 1+2+3+4+…+8 = 36 tập hợp.
b)|A| = 5 và phần tử bé nhất bằng 3
{3,4,5,6,7},…, {3,4,5,6,12}: 6 trường hợp
Có tất cả 6 tập hợp.
c)|A| = 5 và phần tử bé nhất nhỏ hơn hay bằng 4
A = {1,2,3,4,5}, {1,2,3,4,6},…,{1,2,3,4,12} : 8 trường hợp
{2,3,4,5,6},…,{2,3,4,5,12}: 7 trường hợp
{3,4,5,6,7},…, {3,4,5,6,12}: 6 trường hợp
{4,5,6,7,8},…,{4,5,6,7,12}: 5 trường hợp
Có tất cả 5+6+7+8 = 26 tập hợp.
Bài 2. Tìm số nghiệm nguyên không âm của phương trình $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 20$ thỏa điều kiện
a. ${{x}_{1}}\ge 3;{{x}_{2}}>0;{{x}_{3}}\ge 2;{{x}_{4}}>-2$
b. $ 1 \le x_1 \le 5; x_2 \ge 1; x_3 \ge -2; x_4 \ge 0$
GIẢI
a. Từ điều kiện: ${{x}_{1}}\ge 3;{{x}_{2}}>0;{{x}_{3}}\ge 2;{{x}_{4}}>-2$, ta có:
$ {{x}_{1}}\ge 3\Rightarrow {{y}_{1}}={{x}_{1}}-3 $
$ {{x}_{2}}\ge 1\Rightarrow {{y}_{2}}={{x}_{2}}-1$
$ {{x}_{3}}\ge 2\Rightarrow {{y}_{3}}={{x}_{3}}-2 $
$ {{x}_{4}}\ge -1\Rightarrow {{y}_{4}}={{x}_{4}}+1 $
$ {{y}_{1}},{{y}_{2}},{{y}_{3}},{{y}_{4}}\ge 0 $
${{y}_{1}}+{{y}_{2}}+{{y}_{3}}+{{y}_{4}}=20-3-1-2+1=15$
$y_{1}, y_2, y_3, y_4 \geq 0$
(Áp dụng công thức Tổ hợp lặp $K_{n}^{k}=C_{n+k-1}^{k}$, với $k = 15, n = 4$)
$K_{4}^{15}=C_{15+4-1}^{15}=C_{18}^{15}=816$
b. TH1: $x_{1} \geq 1, x_{2} \geq 1 ; x_{3} \geq-2 ; x_{4} \geq 0 $ ta có:
$x_{1} \geq 1 \Rightarrow y_{1}=x_{1}-1 $
$x_{2} \geq 1 \Rightarrow y_{2}=x_{2}-1 $
$x_{3} \geq-2 \Rightarrow y_{3}=x_{3}+2 $
$x_{4} \geq 0 \Rightarrow y_{4}=x_{4} $
$y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}=20-1-1+2-0=20 $
$y_{1}, y_2, y_3, y_4 \geq 0$
(Áp dụng công thức Tổ hợp lặp $K_{n}^{k}=C_{n+k-1}^{k}$, với $k = 20, n = 4$)
$K_{4}^{20}=C_{20+4-1}^{20}=C_{23}^{20}=1771 $
TH2: $x_{1} \geq 6, x_{2} \geq 1 ; x_{3} \geq-2 ; x_{4} \geq 0 $ ta có:
$x_{1} \geq 6 \Rightarrow y_{1}=x_{1}-6 $
$x_{2} \geq 1 \Rightarrow y_{2}=x_{2}-1 $
$x_{3} \geq-2 \Rightarrow y_{3}=x_{3}+2 $
$x_{4} \geq 0 \Rightarrow y_{4}=x_{4} $
$y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}=20-6-1+2-0=15 $
$y_{1}, y_2, y_3, y_4 \geq 0$
(Áp dụng công thức Tổ hợp lặp $K_{n}^{k}=C_{n+k-1}^{k}$, với $k = 15, n = 4$)
$K_{4}^{15}=C_{15+4-1}^{15}=C_{18}^{15}=816 $
Vậy số nghiệm nguyên không âm của phương trình là $1771-816=955$
Bài 3.
Tìm số nghiệm nguyên không âm của phương trình $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 8$
thỏa điều kiện
a. $x_{3}, x_{4} \geq 1$
b. $x_{1} \geq 1$ hay $x_{2} \geq 2$
GIẢI
a. Từ điều kiện $x_{3}, x_{4} \geq 1$ ta có
$x_{1} \geq 0 \Rightarrow y_{1}=x_{1} $
$x_{2} \geq 0 \Rightarrow y_{2}=x_{2} $
$x_{3} \geq 1 \Rightarrow y_{3}=x_{3}-1 $
$x_{4} \geq 1 \Rightarrow y_{4}=x_{4}-1 $
$y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}=8-0-0-1-1=6 $
$y_{1}, y_2, y_3, y_4 \geq 0$
(Áp dụng công thức Tổ hợp lặp $K_{n}^{k}=C_{n+k-1}^{k}$, với $k = 6, n = 4$)
$K_{4}^{6}=C_{6+4-1}^{6}=C_{9}^{6}=84 $
b. TH1: $x_{1} \geq 1, x_{2} \geq 0, x_{3} \geq 0, x_{4} \geq 0 $ ta có:
$x_{1} \geq 1 \Rightarrow y_{1}=x_{1}-1 $
$x_{2} \geq 0 \Rightarrow y_{2}=x_{2} $
$x_{3} \geq 0 \Rightarrow y_{3}=x_{3} $
$x_{4} \geq 0 \Rightarrow y_{4}=x_{4} $
$y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}=8-1-0-0-0=7 $
$y_{1}, y_2, y_3, y_4 \geq 0$
(Áp dụng công thức Tổ hợp lặp $K_{n}^{k}=C_{n+k-1}^{k}$, với $k = 7, n = 4$)
$K_{4}^{7}=C_{7+4-1}^{7}=C_{10}^{7}=120 $
TH2: $ x_{2} \geq 2, x_{1} \geq 0, x_{3} \geq 0, x_{4} \geq 0 $
$x_{1} \geq 0 \Rightarrow y_{1}=x_{1} $
$x_{2} \geq 2 \Rightarrow y_{2}=x_{2}-2 $
$x_{3} \geq 0 \Rightarrow y_{3}=x_{3} $
$x_{4} \geq 0 \Rightarrow y_{4}=x_{4} $
$y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}=8-0-2-0-0=6 $
$y_{1}, y_2, y_3, y_4 \geq 0$
(Áp dụng công thức Tổ hợp lặp $K_{n}^{k}=C_{n+k-1}^{k}$, với $k = 6, n = 4$)
$K_{4}^{6}=C_{6+4-1}^{6}=C_{9}^{6}=84$
Bài 4. Có bao nhiêu cách chia 25 viên kẹo chia cho 6 đứa trẻ ứng với điều kiện:
- Không có điều kiện nào cả.
- Mỗi đứa được ít nhất 1 viên kẹo (hay đứa nào cũng có kẹo).
- Có 2 đứa có cùng số kẹo là 2 viên.
- Đứa lớn nhất được 4 viên, đứa nhỏ nhất được 2 viên kẹo.
- Đứa lớn nhất có số kẹo bằng tổng số kẹo của các đứa còn lại.
GIẢI
Gọi $x_{1}, x_{2}, x_3, x_4, x_5, x_6$ đại diện cho 6 đứa trẻ.
a. Không có điều kiện nào cả tương ứng $x_{i} \geq 0, i = 1,2,3,4,5,6$ ta có
$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_5+x_6=25 $
$x_{1}, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6 \geq 0$
(Áp dụng công thức Tổ hợp lặp $K_{n}^{k}=C_{n+k-1}^{k}$, với $k = 25, n = 6$)
$K_{6}^{25}=C_{25+6-1}^{25}=C_{30}^{25}= 142506$
b. Mỗi đứa được ít nhất 1 viên kẹo (hay đứa nào cũng có kẹo).
$x_{1} \geq 1 \Rightarrow y_{1}=x_{1}-1 $
$x_{2} \geq 1 \Rightarrow y_{2}=x_{2}-1 $
$x_{3} \geq 1 \Rightarrow y_{3}=x_{3}-1 $
$x_{4} \geq 1 \Rightarrow y_{4}=x_{4}-1 $
$x_{5} \geq 1 \Rightarrow y_{5}=x_{5}-1 $
$x_{6} \geq 1 \Rightarrow y_{6}=x_{6}-1 $
$y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}+y_5+y_6=25-1-1-1-1-1-1=19 $
$y_{1}, y_2, y_3, y_4, y_5, y_6 \geq 0$
(Áp dụng công thức Tổ hợp lặp $K_{n}^{k}=C_{n+k-1}^{k}$, với $k = 19, n = 6$)
$K_{6}^{19}=C_{19+6-1}^{19}=C_{24}^{19}=42504$
c. Có 2 đứa có cùng số kẹo là 2 viên.
$x_1, x_2, x_3, x_4 \geq 0$
$x_5 = x_6 = 2$
$x_1+x_2+x_3+x_4 = 25-2-2=21$
$x_1, x_2, x_3, x_4 \geq 0$
(Áp dụng công thức Tổ hợp lặp $K_{n}^{k}=C_{n+k-1}^{k}$, với $k = 21, n = 4$)
$K_{4}^{21}=C_{21+4-1}^{21}=C_{24}^{21}=2024$
d. Đứa lớn nhất được 4 viên, đứa nhỏ nhất được 2 viên kẹo.
$x_1, x_2, x_3, x_4 \geq 0$
$x_5 = 4, x_6 = 2$
$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=25-4-2=19 $
(Áp dụng công thức Tổ hợp lặp $K_{n}^{k}=C_{n+k-1}^{k}$, với $k = 19, n = 4$)
$K_{4}^{19}=C_{19+4-1}^{19}=C_{22}^{19}=1540$
CHƯƠNG 4. QUAN HỆ
Bài 1. Trên tập hợp $S = \{-2, -1, 1, 2, 3, 4, 5 \}$
Ta xét quan hệ hai ngôi $\Re$ như sau: $\forall x,y\in S,x \Re y\Leftrightarrow x+3y$ chẵn.
a. Chứng minh $\Re$ là quan hệ tương đương trên S.
b. Xác định các lớp tương đương [1], [2], [4].
GIẢI
a.
+ Tính phản xạ: $\forall x \in S, x+3 x=4 x$ chẵn $\Rightarrow x \Re x$
+ Tính đối xứng: $\forall x, y \in S, x \Re y \Rightarrow(x+3 y)$ chẵn, chứng minh $(y+3 x)$ chẵn. Thật vậy:
$y+3 x=(x+3y)+(2x-2y)$ (vì $(x+3 y)$ và $(2x-2y)$ chẵn.
$\Rightarrow y+3 x$ chẵn $\Rightarrow y \Re x$
+ Tính bắc cầu: $\forall x, y, z \in S, x \Re y \wedge y \Re z$
$\Rightarrow x+3 y$ chẳn và $y+3 z $ chẳn
$\Rightarrow x+3 z=(x+3 y)+(y+3 z)-4 y $ chẵn $\Rightarrow x+3 z$ chẵn $\Rightarrow x \Re z$
b.
Theo đề bài ta có $x \Re y\Leftrightarrow x+3y$ chẵn
$\overline{1}=[1]=\{y \in S \mid y \Re 1\} \Leftrightarrow y+3.1$ chẵn. Suy ra trong tập $S= \{-2, -1, 1, 2, 3, 4, 5 \}$, $y$ nhận các giá trị $\{-1,1,3,5\}$.
- Vậy: $\overline{1}=[1]=\{y \in S \mid y \Re 1\}=\{-1,1,3,5\}$
Tương tự: $\overline{2}=[2]=\{y \in S \mid y \Re 2\}= \Leftrightarrow y+3.2$ chẵn. Suy ra trong tập $S$, $y$ nhận các giá trị $\{-2,2,4\}$.
- Vậy: $\overline{2}=[2]=\{y \in S \mid y \Re 2\}=\{-2,2,4\}$
$\overline{4}=[4]=\{y \in S \mid y \Re 4\}= \Leftrightarrow y+3.4$ chẵn. Suy ra trong tập $S$, $y$ nhận các giá trị $\{-2,2,4\}$.
- Vậy: $\overline{4}=[4]=\{y \in S \mid y \Re 4\}=\{-2,2,4\}$
Bài 2. Trên tập hợp $S=\{-2,-1,0,2,3,4,5,7,9\}$.
Ta xét quan hệ hai ngôi $\Re$ như sau: $\forall x, y \in S, x \Re y \Leftrightarrow x-y$ chia hết cho 3 .
a. Chứng minh $\Re$ là quan hệ tương đương trên $S$.
b. Xác định các lớp tương đương [1], [2], [3].
GIẢI
a.
+ Tính phản xạ: $\forall x \in S, x-x=0$ chia hết cho $3 \Rightarrow x \Re x$
+ Tính đối xứng: $\forall x \in S, x \Re y \Rightarrow(x-y)$ chia hết cho 3
$\Rightarrow-(x-y)$ cũng chia hết cho 3
$\Rightarrow y-x$ chia hết cho $3 \Rightarrow y \Re x$
+ Tính bắc cầu: $\forall x \in S, x \Re y \wedge y \Re z$
$\Rightarrow x-y $ chia hết cho 3 và $ y-z $ chia hết cho 3
$\Rightarrow x-z = (x-y+y-z)$ chia hết cho 3
$\Rightarrow x-z$ chia hết cho $3 \Rightarrow x \Re z$
Theo đề bài ta có $x \Re y\Leftrightarrow x+3y$ chẵn
b. Theo đề bài ta có $\forall x, y \in S, x \Re y \Leftrightarrow x-y$ chia hết cho 3.
$\overline{1}=[1]=\{y \in S \mid y \Re 1\} \Leftrightarrow y-1$ chia hết cho 3. Suy ra trong tập $S=\{-2,-1,0,2,3,4,5,7,9\}$, $y$ nhận các giá trị $\{-2,4,7\}$.
- Vậy: $\overline{1}=[1]=\{y \in S \mid y \Re 1\}=\{-2,4,7\}$
Tương tự: $\overline{2}=[2]=\{y \in S \mid y \Re 2\}= \Leftrightarrow y-2$ chia hết cho 3. Suy ra trong tập $S$, $y$ nhận các giá trị $\{-1,2,5\}$.
- Vậy: $\overline{2}=[2]=\{y \in S \mid y \Re 2\}=\{-1,2,5\}$
$\overline{3}=[3]=\{y \in S \mid y \Re 3\}= \Leftrightarrow y-3$ chia hết cho 3. Suy ra trong tập $S$, $y$ nhận các giá trị $\{0,3,9\}$.
- Vậy: $\overline{3}=[3]=\{y \in S \mid y \Re 3\}=\{0,3,9\}$
Bài 3. Trên tập hợp $S=\{-2,-1,0,2,3,4,5,7,9\}$.
Ta xét quan hệ hai ngôi $\Re$ như sau: $\forall x, y \in S, x \Re y \Leftrightarrow x+y$ chia hết cho 2.
Chứng minh $\Re$ là quan hệ tương đương trên $S$.
GIẢI
+ Tính phản xạ: $\forall x \in S, x+x=2x$ chia hết cho $2 \Rightarrow x \Re x$
+ Tính đối xứng: $\forall x,y \in S, x \Re y \Rightarrow(x+y)$ chia hết cho 2
$\Rightarrow y+x=x+y$ chia hết cho 2
$\Rightarrow y+x$ chia hết cho $2 \Rightarrow y \Re x$
+ Tính bắc cầu: $\forall x,y,z \in S, x \Re y \wedge y \Re z$
$\Rightarrow x+y $ chia hết cho 2 và $ y+z $ chia hết cho 2
$\Rightarrow x+z=(x+y-y+z)$ chia hết cho 2
$\Rightarrow x+z$ chia hết cho $2 \Rightarrow x \Re z$
Bài 4. Cho tập S = {2,4,5,10,12,15,20,30,90,180}
Ta xét quan hệ thứ tự $R$ trên $S$ như sau: $\forall x, y \in S, x R y \Rightarrow x|y$ (x là ước số của y).
- Chứng minh rằng $R$ là quan hệ thứ tự.
- Vẽ sơ đồ Hasse cho quan hệ.
- Tìm phần tử tối đại, tối tiểu của tập thứ tự trong biểu thức.
1.
+ Tính phản xạ: $\forall x \in S, x \mid x \Rightarrow x \Re x$
+ Tính phản xứng: $\forall x,y \in S, x \mid y $ và $y \mid x$ Suy ra $x = y$
+ Tính bắc cầu: $\forall x,y,z \in S, x \Re y \wedge y \Re z$
$\Rightarrow x \mid y $ và $ y \mid z $ $\Rightarrow x \mid z \Rightarrow x \Re z$
Kết luận: Quan hệ $R$ là quan hệ thứ tự
Bài 5. Cho tập S = {2,4,5,10,25,50}
Ta xét quan hệ thứ tự $R$ trên $S$ như sau: $\forall x, y \in S, x R y \Rightarrow x \vdots y$ (x chia hết cho y).
- Chứng minh rằng $R$ là quan hệ thứ tự.
- Vẽ sơ đồ Hasse cho quan hệ.
- Tìm phần tử tối đại, tối tiểu của tập thứ tự trong biểu thức.
1.
+ Tính phản xạ: $\forall x \in S, x \vdots x \Rightarrow x \Re x$
+ Tính phản xứng: $\forall x,y \in S, x \vdots y $ và $y \vdots x$ Suy ra $x = y$
+ Tính bắc cầu: $\forall x,y,z \in S, x \Re y \wedge y \Re z$
$\Rightarrow x \vdots y $ và $ y \vdots z $ $\Rightarrow x \vdots z \Rightarrow x \Re z$
Kết luận: Quan hệ $R$ là quan hệ thứ tự
Bài 6. Cho tập S = {3,5,9,15,25,75}
Ta xét quan hệ thứ tự $R$ trên $S$ như sau: $\forall x, y \in S, x R y \Rightarrow x \vdots y$ (x chia hết cho y).
- Chứng minh rằng $R$ là quan hệ thứ tự.
- Vẽ sơ đồ Hasse cho quan hệ.
- Tìm phần tử tối đại, tối tiểu của tập thứ tự trong biểu thức.
1.
+ Tính phản xạ: $\forall x \in S, x \vdots x \Rightarrow x \Re x$
+ Tính phản xứng: $\forall x,y \in S, x \vdots y $ và $y \vdots x$ Suy ra $x = y$
+ Tính bắc cầu: $\forall x,y,z \in S, x \Re y \wedge y \Re z$
$\Rightarrow x \vdots y $ và $ y \vdots z $ $\Rightarrow x \vdots z \Rightarrow x \Re z$
Kết luận: Quan hệ $R$ là quan hệ thứ tự
CHƯƠNG 5. ĐẠI SỐ BOOLE
Bài 1.
Cho hàm Bool 4 biến xác định bởi $F(x,y,z,t)=z\bar{t} \vee x\bar{y}\bar{z} \vee \bar{x}yt \vee \bar{x} \bar{y}\bar{z} \vee yz\bar{t} \vee \bar{y}\bar{t}$
a. Hãy vẽ biểu đồ Karnaugh của và xác định các tế bào lớn.
b. Tìm công thức đa thức tối tiểu của hàm .
c. Vẽ sơ đồ mạch các cổng logic của hàm tương ứng với công thức đa thức tối tiểu tìm được trong câu b.
GIẢI
Có 6 tế bào lớn: Tế bào 1: $z \bar{t}$. Tế bào 2: $\overline{y t}$. Tế bào 3: $\overline{y z}$. Tế bào 4: $\bar{x} y z$. Tế bào 5: $\bar{x} y t$. Tế bào 6: $\bar{x} \bar{z} t$
Công thức đa thức tối tiểu của $\mathrm{F}$ là $F=z \bar{t} \vee \bar{y} \bar{z} \vee \bar{x} y t$
Vẽ được sơ đồ mạch logic từ hàm Bool
Bài 2. Cho hàm Bool 4 biến xác định bởi $F(x, y, z, t)=x t \vee y t \vee \bar{x} y \vee \bar{x} \bar{t} \vee x \bar{y} \bar{z} \vee \bar{y} \bar{z} \bar{t}$
a. Hãy vẽ biều đồ Karnaugh của $F$ và xác định các tế bào lớn.
b. Tìm công thức đa thức tối tiều của hàm $F$.
c. Vẽ sơ đồ mạch các cổng logic của hàm $F$ tương ứng với công thức đa thức tối tiều tìm được trong câu b.
GIẢI
Có 5 tế bào lớn: Tế bào 1: $\bar{x} y$. Tế bào 2: $x t$. Tế bào 3: $y t$. Tế bào 4: $\overline{z t}$. Tế bào 5: $\overline{x t}$
Công thức đa thức tối tiểu của $\mathrm{F}$ là
$F=\bar{x} y \vee x t \vee \bar{z} \bar{t} \vee \bar{x} \bar{t}$
$F=x t \vee y t \vee \bar{z}\bar{t} \vee \bar{x} \bar{t}$
Vẽ được sơ đồ mạch logic từ hàm Bool
Bài 3. Cho hàm Bool 4 biến được cho dưới dạng bảng
| x | y | z | t | F |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
- Viết dạng chính tắc của hàm $F$
- Hãy vẽ biểu đồ Karnaugh của hàm $F$
- Tìm công thức đa thức tối tiểu của hàm $F$.
- Vẽ sơ đồ mạch các cổng logic của hàm tương ứng với công thức đa thức tối tiểu trong câu c.
GIẢI
a. (Nhìn vào bảng chân trị suy ra dạng chính tắc, 8 dòng tương ứng tổng của 8 từ tối tiểu trong dạng chính tắc)
$F(x, y, z, t)=\bar{x}\bar{y}\bar{z} \bar{t} \vee \bar{x}\bar{y}\bar{z} t \vee \bar{x}\bar{y} z \bar{t} \vee \bar{x}\bar{y} z t \vee \bar{x} y z \bar{t} \vee x \bar{y} \bar{z} \bar{t} \vee x \bar{y} z \bar{t} \vee x y z \bar{t}$
b.Tô màu 8 ô này ta được biểu đồ Karnaugh
DẠNG: CÁCH TÌM SỐ ƯỚC CỦA MỘT SỐ
Để tìm số ước của một số cho trước, ta chỉ việc phân tích ước của một số. Sau đó lấy số mũ của các thừa số nguyên tố đó cộng với 1 rồi nhân với nhau. Cụ thể về cách tìm số ước của một số a cho trước ta thực hiện các bước dưới đây:
– Bước 1: Phân tích số $a$ ra thừa số nguyên tố:
$a = b^n \times c^m$ ($a$ là số nguyên) trong đó ($b$ và $c$ là các số nguyên tố)
– Bước 2: Lấy số mũ của các thừa số nguyên tố $a, b$ cộng 1 rồi nhân với nhau
Vậy số ước của $a$ là : $(m + 1)(n + 1)$ trong đó ($m, n$ là các số tự nhiên).
Để rõ hơn các em đọc các ví dụ dưới đây.
Ví dụ 1: Tìm số ước của số 135, liệt kê chúng
Ta có: $135=3^3 \times 5$ (với 3; 5 là các số nguyên tố lần lượt có mũ là 3 và 1)
Số ước 135 là: (3 + 1) x (1 + 1) = 4 x 2=8 (ước).
Thao tác trên máy tính Casio FX-570
Ta được: $135=3^3 \times 5$
Liệt kê các Ước của 135 là: Ư(135) = {1; 3; 5; 9; 15; 27; 45; 135}
Ví dụ 2: Tìm số ước của số 180, liệt kê chúng
Ta có: $180=2^2 \times 3^2 \times 5$ (với 2; 3; 5 là các số nguyên tố lần lượt có mũ là 2; 2; và 1)
Số ước 180 là: (2 + 1) x (2 + 1) x (1 + 1) = 3 x 3 x 2=18 (ước).
Liệt kê các Ước của 180 là: Ư(180) = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 9; 10; 12; 15; 18; 20; 30; 36; 45; 60; 90; 180}
Ví dụ 3: Tìm số ước của số 2020, liệt kê chúng
Ta có: $2020 = 2^2 \times 5 \times 101$ (với 2; 5; 101 là các số nguyên tố lần lượt có mũ là 2; 1; và 1)
Số ước 180 là: (2 + 1) x (1 + 1) x (1 + 1) = 3 x 2 x 2=12 (ước).
Liệt kê các Ước của 2020 là: Ư(2020) = {1; 2; 4; 5; 10; 20; 101; 202; 404; 505; 1010; 2020}
Ví dụ 4: Số 2205 có bao nhiêu ước số, liệt kê các ước số của 2205
Ta có: $2205 = 3^2 \times 5 \times 7^2$ (với 3; 5; 7 là các số nguyên tố lần lượt có mũ là 2; 1; và 2)
Số ước 180 là: (2 + 1) x (1 + 1) x (2 + 1) = 3 x 2 x 3=18 (ước).
Liệt kê các Ước của 2205 là: Ư(2205) = {1; 3; 5; 7; 9; 15; 21; 35; 45; 49; 63; 105; 147; 245; 315; 441; 735; 2205}
Ví dụ 5: Số 450 có bao nhiêu ước số, liệt kê các ước số của 450
Ta có:
Số ước 450 là:
Liệt kê các Ước của 450 là: Ư(450) = {1; 2; 3; 5; 6; 9; 10; 15; 18; 25; 30; 45; 50; 75; 90; 150; 225; 450}
Ví dụ 6: Số 1450 có bao nhiêu ước số, liệt kê các ước số của 1450
Ta có:
Số ước 1450 là:
Liệt kê các Ước của 2450 là: Ư(1450) = {1; 2; 5; 10; 25; 29; 50; 58; 145; 290; 725; 1450}
Ví dụ 7: Số Ước số chung của 180 và 2020 là bao nhiêu, liệt kê các ước số chung của 180 và 2020
Ta có: Số Ước số chung của 180 và 2020 là 6 (ước).
Liệt kê các Ước của 2450 là: ƯC(180, 2020) = {1; 2; 4; 5; 10; 20}
DẠNG: VIẾT DẠNG CHÍNH TẮC CỦA HÀM BOOL
Bài 1. Cho hàm Bool
$F(x,y,z,t) = xz \bar{t} \vee \bar{y}\bar{z}\bar{t} \vee z\bar{t} \vee \bar{x}\bar{y} \vee \bar{x}\bar{y}\bar{z}t$
Viết dạng chính tắc của hàm Bool F.
Giải:
$F(x,y,z,t) = xz \bar{t} \vee \bar{y}\bar{z}\bar{t} \vee z\bar{t} \vee \bar{x}\bar{y} \vee \bar{x}\bar{y}\bar{z}t$
$ = x(y \vee \bar{y}) z\bar{t} \vee (x \vee \bar{x})\bar{y}\bar{z}\bar{t} \vee (x \vee \bar{x})(y \vee \bar{y})z\bar{t} \vee \bar{x}\bar{y}(z \vee \bar{z})(t \vee \bar{t}) \vee \bar{x}\bar{y}\bar{z}t$
$ = xyz\bar{t} \vee x\bar{y}z\bar{t} \vee x\bar{y}\bar{z}\bar{t} \vee \bar{x}\bar{y}\bar{z}\bar{t} \vee xyz\bar{t} \vee x\bar{y}z\bar{t} \vee \bar{x}yz\bar{t} \vee \bar{x}\bar{y}z\bar{t} \vee \bar{x}\bar{y}zt \vee \bar{x}\bar{y}z\bar{t} \vee \bar{x}\bar{y}\bar{z}t \vee \bar{x}\bar{y}\bar{z}\bar{t} \vee \bar{x}\bar{y}\bar{z}t$
$ = xyz\bar{t} \vee x\bar{y}z\bar{t} \vee x\bar{y}\bar{z}\bar{t} \vee \bar{x}\bar{y}\bar{z}\bar{t} \vee \bar{x}yz\bar{t} \vee \bar{x}\bar{y}z\bar{t} \vee \bar{x}\bar{y}zt \vee \bar{x}\bar{y}\bar{z}t$
Đây là dạng chính tắc cần tìm.
Bài 2.