Đề thi Toán cao cấp C1

Cho $C = AB$ với $A=\begin{pmatrix}0 & 1 & 5 \\ 3 & -7 & 2 \\ 2 & 3 & 1\end{pmatrix}$ và $B=\begin{pmatrix}9 & -5 \\ 3 & 0 \\ -4 & 2\end{pmatrix}$. Phần tử $c_{22}$ bằng bao nhiêu?

Cho ma trận  $A=\begin{pmatrix}4 & 3 & -1 \\ 2 & 0 & 5 \\ -3 & -2 & -4\end{pmatrix}$. Tìm ma trận chuyển vị của $A$.

$ A. A^{\prime}=\begin{pmatrix}4 & 2 & -3 \\ 3 & 0 & -2 \\ -1 & 5 & -4\end{pmatrix} $

$ B. A^{\prime}=\begin{pmatrix}-3 & 2 & 4 \\ -2 & 0 & 3 \\ -4 & 5 & -1\end{pmatrix} $

$ C. A^{\prime}=\begin{pmatrix}-3 & -2 & -4 \\ 4 & 3 & -1 \\ 2 & 0 & 5\end{pmatrix} $

$ D. A^{\prime}=\begin{pmatrix}4 & -3 & 2 \\ 3 & -2 & 0 \\ -1 & -4 & 5\end{pmatrix} $

Tính định thức 

\[\Delta = \begin{vmatrix} -1 & 6 & 7 \\ -2 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix} \]

Giải tìm nghiệm của phương trình $\begin{vmatrix}2 x & -4 \\ x & (x-5)\end{vmatrix}=0$

Tính hạng của ma trân $M = \begin{pmatrix}1 & 3 & 5 & -1 \\ 2 & -1 & -3 & 4 \\ 5 & 1 & -1 & 7 \\ 7 & 7 & 9 & 1\end{pmatrix}$.

Cho ma trận $M=\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$. Tính $M^{-1}$?

A. $\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$

B. $\begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$

C. $\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

D. $\begin{pmatrix} -3 & -2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$

Tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

\[ \begin{cases} x_{1}+x_{2}+x_{3} & = 3 \\ x_{1}+x_{3} & = 1 \\ x_{1}+x_{2} & = -2 \end{cases} \]

A. $x_{1}=4, x_{2}=-2, x_{3}=5$

B. $x_{1}=1, x_{2}=-1, x_{3}=3$

C. $x_{1}=-1, x_{2}=2, x_{3}=3$

D. $x_{1}=-4, x_{2}=2, x_{3}=5$

Pentico Industries muốn lựa chọn nhà cung cấp nguyên liệu thô cho 2 chi nhánh sản xuất đặt tại Clarion và Brooks với số lượng (đơn vị nguyên liệu) như được mô tả trong bảng sau

Hai nhà cung cấp Western và Coastal đang được xem xét với bảng báo giá (USD/đơn vị nguyên liệu) được cho bởi bảng sau

Công ty chỉ chọn một nhà cung cấp trong hai nhà cung cấp ở trên thì nên chọn nhà cung cấp nào cho chi nhánh Clarion

Tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

\[ \begin{cases} x_{1}-x_{2}+2x_{3} & = 1 \\ x_{1}-2x_{2} + x_3 & = 0 \\ -x_{1}+x_{2} – x_3& = 1 \end{cases} \]

A. $x_{1}=4, x_{2}=1, x_{3}=2$

B. $x_{1}=-4, x_{2}=-1, x_{3}=2$

C. $x_{1}=-4, x_{2}=1, x_{3}=2$

D. $x_{1}=4, x_{2}=-1, x_{3}=2$

Tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

\[ \begin{cases} x-3y+4z& = 1 \\ 2x-5y+z & = 2 \\ 5x-13y+6z & = 5 \end{cases} \]

A.$ x=1+17\alpha, y=7\alpha, z=\alpha; \alpha \in \mathbb{R} $

B.$ x=1-17\alpha, y=7\alpha, z=\alpha; \alpha \in \mathbb{R} $

C.$ x=1, y=0, z=0$

D. Hệ trên vô nghiệm 

Giải hệ phương trình tuyến tính

\[ \begin{cases} x+4y+5z & = 1 \\ 2x+8y+10z & = 3 \\ 3x+11y-6z & = 0 \end{cases} \]

A. Hệ vô nghiệm

B. $x=2, y=1, z=-1$

C. $x=1-a, y=-a, z=a; a \in \mathbb{R}$

D. $x=1+79a, y=-21a, z=a; a \in \mathbb{R}$

Giả sử 1 nền kinh tế đơn giản có 3 ngành: dịch vụ  (Service, viết tắt là S), ngành chế tạo (Manufacturing, viết tắt là M) và ngành nông nghiệp  (Agriculture, viết tắt A) với ma trận hệ số đầu vào là 

\[ \quad\quad \begin{pmatrix} \quad S \quad M \quad A \\ \end{pmatrix} \\ A =\begin{pmatrix} 0.4 & 0.1 & 0.1 \\ 0.2 & 0.5 & 0.2 \\ 0.2 & 0.1 & 0.3 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} S \\ M \\ A \\ \end{pmatrix} \]

Ta mong muốn có lượng thặng dư là 24 đơn vị sản lượng  dịch vụ, 62 đơn vị sản lượng ngành chế tạo và 32 đơn vị sản lượng ngành nông nghiệp. Gọi $x_1, x_2, x_3$ lần lượt là tổng sản lượng ngành công nghiệp dịch vụ, ngành chế tạo và ngành nông nghiệp. Tìm $x_1, x_2, x_3$

A. $(x_1, x_2, x_3) = (400, 500, 400)$

B. $(x_1, x_2, x_3) = (2200, 1000, 700)$

C. $(x_1, x_2, x_3) = (90, 200, 100)$

D. $(x_1, x_2, x_3) = (50, 120, 180)$

Giả sử 1 nền kinh tế của 1 nước không phát triển gồm 2 ngành: ngành công nghệ chế biến nông sản (Agricultural industry, viết tắt là A) và ngành công nghiệp dầu mỏ (Oil industry, viết tắt là O) với ma trận hệ số đầu vào là

\[ \quad\quad \begin{pmatrix} \quad A \quad O \\ \end{pmatrix} \\ A =\begin{pmatrix} 0.4 & 0.2 \\ 0.2 & 0.1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A \\ O \\ \end{pmatrix} \]

            Quốc gia đó mong muốn có lượng thặng dư là 0 đơn vị sản lượng ngành công nghệ chế biến nông sản và 610 đơn vị sản lượng ngành công nghiệp dầu mỏ. Gọi $x_1, x_2$ lần lượt là tổng sản lượng  ngành chế biến nông sản và ngành công nghiệp dầu mỏ. Tìm $x_1$

A. $x_1 = 100$

B. $x_1 = 200$

C. $x_1 = 106$

D. $x_1 = 244$

Trong không gian véctơ $\mathbb{R^3}$ họ véctơ nào sau đây độc lập tuyến tính

Tìm số chiều n = dimW của không gian con W của $\mathbb{R^4}$ sinh bởi các vectơ sau

$\alpha_{1}=(1,-1,0,1), \alpha_{2}=(0,1,2,1), \alpha_{3}=(1,0,2,2), \alpha_{4}=(2,-2,0,2)$

Trong không gian véc-tơ $\mathbb{R}$ cho không gian nghiệm

\[ W=\{ v=(x, y, z) | x-y+7z=0 \} \]

 Một cơ sở của W là

Trong không gian $\mathbb{R^3}$ tìm tọa độ $x_1, x_2, x_3$ của vectơ u=(3, -3, 8) theo cơ sở

\[ B = \{u_1=(1, 0, 0), u_2=(0, -3, 0), u_3=(0, 0, 2)\} \]

A. $x_1 = 3, x_2 = 3, x_3 = 4$

B. $x_1 = 3, x_2 = 1, x_3 = 4$

C. $x_1 = 3, x_2 = -1, x_3 = 2$

D. $x_1 = 2, x_2 = -1, x_3 = 3$

Xét một mô hình nền kinh tế đơn giản có 3 thành phần: dịch vụ, nguyên liệu thô, hàng hóa sản xuất. Bảng sau cho biết giá trị (USD) đóng góp của mỗi ngành để sản xuất ra 1 đơn vị sản phẩm cho ngành đó

Giả sử lĩnh vực phi sản xuất (cầu cuối) có nhu cầu lần lượt từ 3 ngành là: 300, 500, 600. Khi đó, tìm tổng sản lượng của 3 ngành để cân bằng nền kinh tế.

Tìm các vec-tơ giá trị riêng ứng với trị riêng $ \lambda = 2 $ của ma trận $ A=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 6 & 5 \end{pmatrix} $

A. $u=(2\alpha, \alpha)$ với $ \alpha \in \mathbb{R} – \{0\} $

B. $u=(2\alpha, \alpha)$ với $ \alpha \in \mathbb{R} $

C. $u=(\alpha, -2\alpha)$ với $ \alpha \in \mathbb{R} – \{0\} $

D. $u=(\alpha, -2\alpha)$ với $ \alpha \in \mathbb{R} $

Tìm các giá trị riêng $\lambda$ của ma trận

\[ A=\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \]

A.$ \lambda = 0 $

B.$ \lambda = 2$

C.$ \lambda = 1$

D.$ \lambda = 1$ hoặc $ \lambda = 2$