Trắc nghiệm Toán cao cấp A2-C2 (Giải tích)

1.

Câu 3 Đạo hàm của hàm số \( y = \sin x \cdot e^{-2x} \) là

A. \(-2\cos x\, e^{-2x}\)

B. \( (\cos x + 2\sin x)e^{-2x}\)

C. \( (\cos x - 2\sin x)e^{-2x}\)

D. \( \cos x\, e^{-2x} \)

2.

Câu 6 Giả sử có một sự cố về đường ống dẫn dầu, độ dày y của lớp dầu cách vị trí bị vỡ x (mét) được xác định bởi

\[ y = \frac{x^2 + x}{5(x^3 + x^2 + 4x)} \]

. Khi đó để xác định độ dày của lớp dầu ở vị trí bị vỡ, người ta tìm giới hạn của y khi x dần về 0. Độ dày của lớp dầu trong trường hợp này là:

3.

Câu 11 Tính giới hạn

\[ \lim_{x \to 0} \frac{x\sin 4x}{\ln(1+x^2)} \]

4.

Câu 14 Cho hàm ẩn y=f(x) xác định bởi

\[ \sin x - 2xy + \cos y = 1. \]

Tìm \(y'(x)\)?

A. \(y' = \dfrac{\cos x - 2y}{-2x + \sin y}\)
B. \(y' = \dfrac{\cos x - 2y}{2x + \sin y}\)
C. \(y' = \dfrac{\cos x + 2y}{2x + \sin y}\)
D. \(y' = \dfrac{\cos x - 2y}{-2x - \sin y}\)

5.

Câu 17 Cho hàm số \(y(x) = (x^3 - 3x)^5\) tính dy.

A. \(dy = 15(x^2 - 1)(x^3 - 3x)^4 dx\)
B. \(dy = 5(x^3 - 3x)^4 dx\)
C. \(dy = 5(x^2 - 1)(x^3 - 3x)^4 dx\)
D. \(dy = 15(x^3 - 3x)^4 dx\)

6.

Câu 20 Tính giới hạn

\[ \lim_{x \to 1} \frac{x^3 + 2x - 3}{x^2 - x + 1} \]

A. 1
B. 0
C. \(+\infty \)
D. 3

7.

Câu 22 Cho hàm ẩn y=f(x) xác định bởi \(3x + e^{xy} + y = 0\).
Tìm y'(x)?
A. \(y' = -\dfrac{3 + e^{xy}}{e^{xy} + 1}\)
B. \(y' = \dfrac{3 + y e^{xy}}{x e^{xy} + 1}\)
C. \(y' = -\dfrac{3 + y e^{xy}}{x e^{xy} + 1}\)
D. \(y' = \dfrac{3 + e^{xy}}{e^{xy} + 1}\)

8.

Câu 24 Vi phân cấp một của hàm số \(y(x)=\sin(2x)+\cos(3x)\) là
A. \(dy=(2\sin 2x+3\cos 3x)dx\)
B. \(dy=(2\cos 2x-3\sin 3x)dx\)
C. \(dy=(2\cos 2x+3\sin 3x)dx\)
D. \(dy=(2\sin 2x-3\cos 3x)dx\)

9.

Câu 3 Chiều dài \( x  \) của hình chữ nhật đang tăng với tốc độ 3 cm/h, trong khi đó chiều rộng y đang giảm với tốc độ 2 cm/h. Khi x = 10 cm và y = 8 cm, hãy tìm tốc độ thay đổi của diện tích hình chữ nhật.

A. \(4\,\text{cm}^2/\text{h} \)
B. \(-14\,\text{cm}^2/\text{h} \)
C. \(36\,\text{cm}^2/\text{h} \)
D. \(44\,\text{cm}^2/\text{h} \)

10.

Câu 5 Tìm giới hạn
\[\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - x}{x^2 + x}\]

A. \(+\infty \)
B. 0
C. 2
D. 1

11.

Câu 16 Cho hàm số
\[y(x)=\frac{\ln x}{\ln x+1}.\]
Tính \( dy(e^2) \).

A. \(dy(e^2)=\dfrac{1}{9}\,dx \)
B. \(dy(e^2)=\dfrac{1}{e^2}\,dx \)
C. \(dy(e^2)=0.015\,dx \)
D. \(dy(e^2)=\dfrac{1}{9e^2}\,dx \)

12.

Câu 17 Tìm y'(x) biết y = y(x) là hàm ẩn xác định từ phương trình
\[xy + x^2 + y^2 = e^{xy}.\]
A. \(y'(x)=\dfrac{y+2x-ye^{xy}}{x+2y-xe^{xy}} \)
B. \(y'(x)=\dfrac{y+2x+ye^{xy}}{x+2y+xe^{xy}} \)
C. \(y'(x)=-\dfrac{y+2x+ye^{xy}}{x+2y+xe^{xy}} \)
D. \(y'(x)=-\dfrac{y+2x-ye^{xy}}{x+2y-xe^{xy}} \)

13.

Câu 18 Cho hàm số \(y(x)=\cos 2x \) tính \(y''(x) \).
A. \(y''(x)=4\sin 2x \)
B. \(y''(x)=-4\cos 2x \)
C. \(y''(x)=4\cos 2x \)
D. \(y''(x)=-4\sin 2x \)

14.

Câu 19 Giả sử có một sự cố vỡ đường ống dẫn dầu, độ dày y của lớp dầu cách vị trí bị vỡ x (mét) được xác định bởi: 
\[y=\frac{x^2+2x}{4(x^3+x^2+3x)}.\]
Để xác định độ dày của lớp dầu ở vị trí bị vỡ, người ta tính giới hạn của y khi x dần về 0. Độ dày của lớp dầu trong trường hợp này là:

15.

Câu 20 Tính giới hạn
\[\lim_{x\to 0}\frac{e^{5x}-1}{\ln(1+x)}.\]

16.

Câu 21 Cho hàm số \( y(x)=\cos 4x \) tính \(y''(x) \).
A. \(y''(x)=-16\sin 4x \)
B. \(y''(x)=16\cos 4x \)
C. \(y''(x)=16\sin 4x \)
D. \(y''(x)=-16\cos 4x \)

17.

Câu 25 Tính giới hạn
\[\lim_{x\to e}\frac{\ln x}{x}.\]

18.

 Câu 5 Cho hàm số \(y(x)=\ln \sqrt[3]{x}\) tính \(y'(x) \)

A. \( y'(x)=\dfrac{1}{\ln\sqrt[3]{x}} \)
B. \( y'(x)=\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}} \)
C. \( y'(x)=\dfrac{3}{\sqrt[3]{x}} \)
D. \( y'(x)=\dfrac{1}{3x} \)

19.

Câu 9 Tính giới hạn
\[\lim_{x\to 0}\frac{e^x-e^{-x}}{x}.\]

20.

Câu 10 Tính giới hạn
\[\lim_{x\to \pi}\sin\!\left(x-\frac{\pi}{2}\right).\]
A. 4
B. 1
C. \( +\infty \)
D. 0

21.

Câu 11 Cho hàm ẩn y=f(x) xác định bởi
\[x+e^{x+y}+\ln y=0.\]
Tìm y'(x).
A. \( y'=\dfrac{-1+e^{x+y}}{e^{x+y}+\frac{1}{y}} \)
B. \( y'=-\dfrac{1+e^{x+y}}{e^{x+y}+\frac{1}{y}} \)
C. \( y'=\dfrac{1+e^{x+y}}{e^{x+y}+\frac{1}{y}} \)
D. \( y'=\dfrac{1+ye^{x+y}}{xe^{x+y}+\frac{1}{y}} \)

22.

Câu 13 Giả sử có một sự cố vỡ đường ống dẫn dầu, độ dày y của lớp dầu cách vị trí bị vỡ x (mét) được xác định bởi:
\[y=\frac{x^2+3x}{3(x^3+x^2+4x)}.\]
Để xác định độ dày tại vị trí bị vỡ, tính giới hạn của y khi \(x\to 0 \).

23.

Câu 15 Cho hàm số \(y(x)=(x^3-3x)^5 \). Tính dy.
A. \( dy=5(x^2-1)(x^3-3x)^4\,dx \)
B. \( dy=15(x^3-3x)^4\,dx \)
C. \( dy=15(x^2-1)(x^3-3x)^4\,dx \)
D. \( dy=5(x^3-3x)^4\,dx \)

24.

Câu 17 Tìm đạo hàm riêng theo ​\( t \)​ của hàm
\[f(x,y)=e^{2x+3y}\]
với \(x=\cos t,\; y=\sin t \).
A. \( f'_t=e^{2x+3y}(3\cos t-2\sin t) \)
B. \( f'_t=e^{2x+3y}(3\sin t+2\cos t) \)
C. \( f'_t=e^{2x+3y}(3\cos t+2\sin t) \)
D. \( f'_t=e^{2x+3y}(3\sin t-2\cos t) \)

25.

Câu 22 Giả sử có một sự cố vỡ đường ống dẫn dầu, độ dày y của lớp dầu cách vị trí bị vỡ x (mét) được xác định bởi:
\[y=\frac{2(x^2+x)}{7(x^3+x^2+4x)}.\]
Để xác định độ dày của lớp dầu tại vị trí bị vỡ, tính giới hạn của y khi \( x\to 0 \).

26.

Câu 23 Tính giới hạn
\[\lim_{x\to 2}\frac{\sin(x^2-5x+6)}{x^2-4}.\]

27.

Câu 4 Cho hàm ẩn y=f(x) xác định bởi
\[x+e^{x+y}+\ln y=0.\]
Tìm y’(x).
A. \(y'=\dfrac{1+e^{x+y}}{e^{x+y}+\frac{1}{y}} \)
B. \(y'=-\dfrac{1+e^{x+y}}{e^{x+y}+\frac{1}{y}} \)
C. \(y'=\dfrac{-1+e^{x+y}}{e^{x+y}+\frac{1}{y}} \)
D. \(y'=\dfrac{1+ye^{x+y}}{xe^{x+y}+\frac{1}{y}} \)

28.

Câu 9 Giả sử có một sự cố vỡ đường ống dẫn dầu, độ dày y của lớp dầu cách vị trí bị vỡ x (mét) được xác định bởi
\[y=\frac{2x^2+x}{6(x^3+2x^2+x)}.\]
Để xác định độ dày của lớp dầu tại vị trí bị vỡ, người ta tính giới hạn của y khi \(x\to 0 \). Độ dày của lớp dầu trong trường hợp này là:

29.

Câu 12 Đạo hàm của hàm số
\[y(x)=x^{20!}\]
là

A. \(y'(x)=20! x^{20!} \)
B. \(y'(x)=20! \)
C. \(y'(x)=20!x^{20! - 1}\)
D. \(y'(x)=x^{20!-1}\)

30.

Câu 13 Tính giới hạn
\[\lim_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{x^3}.\]

A. 1/6
B. \(+\infty \)
C. 0
D. 1.666

31.

Câu 19 Vi phân của một hàm số
\[y(x)=\frac{1}{\ln x}\]
là
A. \(dy=\dfrac{dx}{x\ln x} \)
B. \(dy=\dfrac{dx}{x\ln^2 x} \)
C. \(dy=-\dfrac{dx}{x\ln x} \)
D. \(dy=-\dfrac{dx}{x\ln^2 x} \)

32.

Câu 20 Tính giới hạn
\[\lim_{x\to +\infty}\frac{x^3 - 2x}{(x+1)^2}.\]
A. 0
B. 1
C. \(+\infty \)
D. \(-\infty \)

33.

Câu 6 Khai triển Maclaurin của hàm số
\[y=\cos(x+1)\]
đến số hạng  \(x^3 \) là

A. \(\cos(1)-\sin(1)x-\dfrac{\cos(1)}{2}x^2-\dfrac{\sin(1)}{6}x^3 \)
B. \(\cos(1)-\sin(1)x-\dfrac{\cos(1)}{2}x^2+\dfrac{\sin(1)}{6}x^3 \)
C. \(\cos(1)+\sin(1)x+\dfrac{\cos(1)}{2}x^2+\dfrac{\sin(1)}{6}x^3 \)
D. \(\cos(1)-\sin(1)x-\cos(1)x^2+\sin(1)x^3 \)

34.

Câu 24 Khai triển Maclaurin của hàm số \( y=e^{-2x} \) đến số hạng \(x^3 \) là
A. \( 1-2x+2x^2-\dfrac{4}{3}x^3 \)
B. \( 1+2x+2x^2+\dfrac{4}{3}x^3 \)
C. \( 1-2x-2x^2-\dfrac{4}{3}x^3 \)
D. \( 1-2x+4x^2-8x^3 \)

35.

Câu 3 Khai triển Maclaurin của hàm số \(y=\sin(2x) \) đến số hạng \(x^5 \) là

A. \( 2x-\dfrac{4}{3}x^3+\dfrac{4}{15}x^5\)
B. \( 2x-8x^3+32x^5\)
C. \( 2x+\dfrac{4}{3}x^3+\dfrac{4}{15}x^5\)
D. \( 2x-\dfrac{1}{6}x^3+\dfrac{1}{120}x^5\)

36.

Câu 7 Khai triển Maclaurin của hàm số \(y = e^{-x} \) đến số hạng \( x^3 \) là
A. \(1 - x + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 \)
B. \(1 - x + x^2 - x^3 \)
C. \(1 - x + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{6}x^3 \)
D. \(1 + x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{6}x^3 \)

37.

Câu 5 Khai triển Maclaurin của hàm số \(y = e^{-x}\) đến số hạng \(x^3\) là

A. \(1 - x + \dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{1}{6}x^3\)
B. \(1 - x + x^2 - x^3\)
C. \(1 + x + \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{6}x^3\)
D. \(1 - x + \dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{1}{3}x^3\)