Đề kiểm tra Toán cao cấp A1 Mã đề 0842

Câu 68: Trong không gian \( \mathbb{R}^3 \), hệ vectơ nào sau đây độc lập tuyến tính?

Câu 74: Tính định thức của ma trận

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & -2 & 0 \\ -7 & 14 & 2 \end{pmatrix} \]

Câu 65: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận

\[ A = \begin{pmatrix} -2 & -4 & 3 \\ 1 & 0 & 0 \\ 7 & -1 & 1 \end{pmatrix} \]

A. \( A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & -23 & 3 \\ -1 & -30 & 4 \end{pmatrix} \)

B. \( A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 23 & -3 \\ 1 & 30 & -4 \end{pmatrix} \)

C. \( A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -1 & -23 & -3 \\ -1 & -30 & -4 \end{pmatrix} \)

D. \( A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 23 & 3 \\ 1 & 30 & 4 \end{pmatrix} \)

Câu 79: Cho hệ phương trình tuyến tính sau \( \begin{cases} x_1 + x_2  = 2 \\ 2x_1 + 2x_2 + x_3 = 3 \\ x_1 + x_3 = 8 \end{cases} \)

Hãy tìm giá trị của ẩn \( x_3 \)?

Câu 72: Tìm hạng của ma trận

\[ M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 7 \\ -7 & 2 & 3 & 2 \\ 2 & -1 & -1 & -3 \end{pmatrix} \]

Câu 67: Trong không gian \( \mathbb{R}^2 \), tìm ma trận \( A \) biểu diễn phép quay quanh gốc tọa độ với góc quay \( \theta = \pi \). Từ đó tìm ảnh \( u' \) của vectơ \( u = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix} \)  qua phép quay trên.

A. \( A = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad u' = \begin{pmatrix} -3 \\ -5 \end{pmatrix} \)

B. \( A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad u' = \begin{pmatrix} -5 \\ 3 \end{pmatrix} \)

C. \( A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad u' = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix} \)

D. \( A = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad u' = \begin{pmatrix} -5 \\ -3 \end{pmatrix} \)

Câu 61: Tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

\[ \begin{cases} x - y + 2z = 1 \\ x + y + 2z = 1 \\ 2x - 4y + 4z = 1 \end{cases} \]

Câu 75 = 13: Cho hai ma trận

\[ P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ -2 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}, \quad Q = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -3 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}. \]

Thực hiện phép toán \( PQ \).

A. \( PQ = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ -4 & -6 \\ -2 & -4 \end{pmatrix} \)

B. \( PQ = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ -4 & -6 \\ 2 & -4 \end{pmatrix} \)

C. \( PQ = \begin{pmatrix} 3 & 8 \\ -4 & -6 \\ -2 & -4 \end{pmatrix} \)

D. \( PQ = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ -4 & -6 \\ -2 & -4 \end{pmatrix} \)

Câu 73: Mã hóa tin nhắn “NO PROBLEM” bằng ma trận mã hóa

\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \]

Câu 76: Tìm các giá trị riêng \( \lambda \) của ma trận

\[ A = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ -8 & -3 \end{pmatrix} \]

A. \( \lambda = -1 \vee \lambda = 2 \)
B. \( \lambda = 2 \)
C. \( \lambda = 1  \; \vee \; \lambda = 2 \)
D. \( \lambda = 1  \)

Câu 70: Tìm 1 cơ sở của không gian con \( W \subset \mathbb{R}^4 \) sinh bởi các vectơ sau

\[\{ u = (-1, 1, 1, -1); \; v = (1, -3, -2, 2); \; w = (1, -2, -1, 3) \} \]

Câu 71: Tìm các vectơ riêng ứng với trị riêng \( \lambda = 5 \) của ma trận

\[ A = \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ -4 & 1 \end{pmatrix}. \]

A. \( u = (\alpha, \alpha) \) với \( \alpha \in \mathbb{R} \)

B. \( u = (-\alpha, \alpha) \) với \( \alpha \in \mathbb{R} \backslash \{0\} \)

C. \( u = (\alpha, \alpha) \) với \( \alpha \in \mathbb{R} \backslash \{0\} \)

D. \( u = (-\alpha, \alpha) \) với \( \alpha \in \mathbb{R} \) 

Câu 64: Một lĩnh vực của nền kinh tế gồm 2 ngành: ngành công nghệ khai thác mỏ (Mining industry, viết tắt là M) và ngành công nghiệp chế tạo (Manufacturing industry, viết tắt là Mfg) có ma trận hệ số đầu vào là

\[ A = \begin{pmatrix} 0.2 & 0.1 \\ 0.6 & 0.3 \end{pmatrix} \quad \begin{array}{l} \text{M} \\ \text{Mfg}  \end{array} \]

Ta mong muốn lượng thặng dư là 36 đơn vị sản lượng ngành công nghệ khai thác mỏ và 278 đơn vị sản lượng ngành chế tạo. Gọi \(x_1, x_2 \) lần lượt là tổng sản lượng ngành khai thác mỏ và ngành chế tạo. Tìm \( x_2 \)

A. \( (x_2) = 100 \)

B. \( (x_2) = 732 \)

C. \( (x_2) = 488 \)

D. \( (x_2) = 60 \)

Câu 69: Tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

\[ \begin{cases} x_1 + x_2 = 2 \\ 2x_1 + 2x_2 + x_3 = 3 \\ x_1 + x_3 = 8 \end{cases} \]

Câu 80: Cho ma trận

\[ A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 2} \\ 1 & -2 \\ 1 & -2 \end{array}} \right). \]

Thực hiện phép tính \( -2A \).

A. \( - 2A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} -2 & 4 \\ -2 & 4 \\ -2 & 4 \end{array}} \right){\rm{ }} \)

B. \( - 2A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} -2 & -4 \\ 2 & -4 \\ 2 & -4 \end{array}} \right){\rm{ }} \)

C. \( - 2A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} -2 & -4 \\ 2 & -4 \\ 2 & -4 \end{array}} \right){\rm{ }} \)

D. \( - 2A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} -2 & -4 \\ 2 & -4 \\ -2 & -4 \end{array}} \right){\rm{ }} \)

Câu 66: Giả sử 1 nền kinh tế đơn giản có 3 ngành: dịch vụ (Service, viết tắt là S), ngành chế tạo (Manufacturing, viết tắt là M) và ngành nông nghiệp (Agriculture, viết tắt là A) với ma trận hệ số đầu vào là

\[ A = \begin{pmatrix} 0.4 & 0.1 & 0.1 \\ 0.2 & 0.5 & 0.2 \\ 0.2 & 0.1 & 0.3 \end{pmatrix} \quad \begin{array}{l} \text{S} \\ \text{M} \\ \text{A} \end{array} \]

Ta mong muốn có lượng thặng dư là 0 đơn vị sản lượng dịch vụ, 14 đơn vị sản lượng ngành chế tạo và 104 đơn vị sản lượng ngành nông nghiệp. Gọi \(x_1, x_2, x_3 \) lần lượt là tổng sản lượng ngành công nghiệp dịch vụ, ngành chế tạo và ngành nông nghiệp. Tìm \(x_1 \)

A. \( x_1 = 50 \)

B. \( x_1 = 90 \)

C. \( x_1 = 400 \)

D. \( x_1 = 2200 \)

Câu 77: Trong không gian \(\mathbb{R}^3\), tìm tọa độ \(x_1, x_2, x_3\) của véc-tơ \(u = (2, 3, 6) \) theo cơ sở \(B = \{u_1 = (1,0,0); \; u_2 = (0,-3,0);  \; u_3 = (0,0,2)\}\)

Câu 62: Giải tìm nghiệm của phương trình

\[ \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x - 1} & -x \\ 2 & x + 1 \end{array}} \right| = 2 \]

A. \( x = -1 \vee x = 3 \)

B. \( x = 1 \vee x = 3 \)

C. \( x = -1 \vee x = -3 \)

D. \( x = 1 \vee x = -3 \)

Câu 78: Tìm \(m\) để hệ phương trình tuyến tính sau có một nghiệm duy nhất

\[ \begin{cases} mx + (8m - 16)y = 3m + 2 \\ x + my = m^3 + 1 \end{cases} \]

A. \( m \ne 4 \)

B. \( m \ne -4 \wedge m \ne 4 \)

C. \( m \ne 3 \)

D. \( m \ne 3 \wedge m \ne -3 \)

Câu 63: Tìm số chiều \(n \) của không gian nghiệm sau

\[ W = \left\{ {(x,y,z):\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x - 3y + z = 0}\\ {x - 4y + 2z = 0} \end{array}} \right.} \right\} \]